【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓： 的離心率，左頂點為，過點作斜率為的直線交橢圓于點，交軸于點．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為的中點，是否存在定點，對于任意的都有，若存在，求出點的

坐標；若不存在說明理由；

（3）若過點作直線的平行線交橢圓于點，求的最小值．

【答案】（1）（2）（3）．

【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率和左頂點，求出， ，由此能求出橢圓的標準方程；（2）直線l的方程為，與橢圓聯(lián)立，得， ，由此利用韋達定理、直線垂直，結(jié)合題意能求出結(jié)果；（3）由,可設(shè)的方程為，與橢圓聯(lián)立方程得點的橫坐標，由，結(jié)合基本不等式即可求出最小值.

試題解析：（1）∵左頂點為

∴

又∵

∴

又∵

∴橢圓的標準方程為．

（2）直線的方程為，由消元得

化簡得， ，則

當時， ，

∴

∵點為的中點

∴點的坐標為，則.

直線的方程為，令，得點的坐標為，假設(shè)存在定點使得,則，即恒成立，

∴恒成立

∴即

∴定點的坐標為.

（3）∵

∴的方程可設(shè)為，由得點的橫坐標為

由，得 ，

當且僅當即時取等號，

∴當時， 的最小值為．

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相關(guān)習題

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【題目】某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了四次試驗，得到的數(shù)據(jù)如下：

零件的個數(shù)（個）

加工的時間（小時）

（1）在給定的坐標系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；

（2）求出關(guān)于的線性回歸方程.

（3）試預(yù)測加工個零件需要多少時間？

附錄：參考公式： ，.

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【題目】設(shè)函數(shù)是定義在 上的偶函數(shù)，當時， ）.

（1）當時，求的解析式；

（2）若，試判斷的上單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

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【題目】已知函數(shù)有兩個極值點， （）．

（1）求實數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，若函數(shù)的兩個極值點恰為函數(shù)的兩個零點，當時，求的最小值．

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【題目】在等腰中， ，腰長為， 、分別是邊、的中點，將沿翻折，得到四棱錐，且為棱中點， ．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，求二面角的余弦值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分13分）甲、乙兩位學生參加數(shù)學競賽培訓，現(xiàn)分別從他們在培訓期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機抽取8次，記錄如下：

甲：82 81 79 78 95 88 93 84

乙：92 95 80 75 83 80 90 85

（1）用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)；

（2）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學競賽，從統(tǒng)計學的角度（在平均數(shù)、方差或標準差中選兩個）考慮，你認為選派哪位學生參加合適？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知、、為實數(shù)，，，記集合，，則下列命題為真命題的是（ ）

A.若集合的元素個數(shù)為2，則集合的元素個數(shù)也一定為2

B.若集合的元素個數(shù)為2，則集合的元素個數(shù)也一定為2

C.若集合的元素個數(shù)為3，則集合的元素個數(shù)也一定為3

D.若集合的元素個數(shù)為3，則集合的元素個數(shù)也一定為3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) 在點處的切線與直線平行，且函數(shù)有兩個零點.

（1）求實數(shù)的值和實數(shù)的取值范圍；

（2）記函數(shù)的兩個零點為，求證： （其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè).

（1）求的反函數(shù)；

（2）討論在上的單調(diào)性，并加以證明；

（3）令，當時，在上的值域是，求的取值范圍.

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