Question

4．已知$|\overrightarrow a|=1$，$|\overrightarrow b|=2$，且$（λ\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（2\overrightarrow a-λ\overrightarrow b）$，$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為60°，則λ=$-1±\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的數(shù)量積和向量的垂直的條件即可得到關(guān)于λ的方程，解得即可．

解答 解：$|\overrightarrow a|=1$，$|\overrightarrow b|=2$，$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為60°，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cos60°=1×2×$\frac{1}{2}$=1，
∵$（λ\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（2\overrightarrow a-λ\overrightarrow b）$，
∴（λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$）=2λ|$\overrightarrow{a}$|²-λ|$\overrightarrow$|²+（2-λ²）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2λ-4λ+2-λ²=0，
解得λ=$-1±\sqrt{3}$，
故答案為：$-1±\sqrt{3}$，

點評 本題考查了向量的數(shù)量積和向量的垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題．