Question

7．定義：$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$為n個正數(shù)p₁，p₂，p₃…p_n的“均倒數(shù)”．若已知正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項的“均倒數(shù)”為$\frac{1}{2n+1}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{2}$，則$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+$\frac{1}{_{3}_{4}}$+…+$\frac{1}{_{2014}_{2015}}$=$\frac{2014}{4029}$．

Answer 1

分析 直接利用給出的定義得到$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，整理得到Sn=2n²+n．分n=1和n≥2求出數(shù)列{a_n}的通項，驗證n=1時滿足，再利“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：由已知定義，得到$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，
∴a₁+a₂+…+a_n=n（2n+1）=S_n，
即Sn=2n²+n．
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=3．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+n）-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1．
當(dāng)n=1時也成立，
∴a_n=4n-1；
∴b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{2}$=2n-1．
∴$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
∴$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+$\frac{1}{_{3}_{4}}$+…+$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
∴$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+$\frac{1}{_{3}_{4}}$+…+$\frac{1}{_{2014}_{2015}}$=$\frac{2014}{2×2014+1}$=$\frac{2014}{4029}$
故答案為：$\frac{2014}{4029}$

點評 本考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式的運用，裂項的方法求解數(shù)列的和，考查的解題思想較多，屬于中檔題．