平面與平面垂直的性質(zhì)定理可簡言：面面垂直，則線面垂直．兩平面垂直會有許多性質(zhì)，選取這條性質(zhì)作為性質(zhì)定理有什么意義？這條定理都有什么應用？
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我們已經(jīng)會判斷兩個平面互相垂直，除定義外，還可用“一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面垂直”來判定兩個平面垂直．兩個相交平面相聯(lián)系的最重要的紐帶莫過于它們之間的交線了，所以兩垂直平面的性質(zhì)問題的關鍵就在于交線及與交線垂直的直線上． 性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直． 不難證明這個定理的逆命題，即如果一個平面內(nèi)垂直于交線的任意一條直線與另一個平面垂直，則這兩個平面垂直．也就是說平面與平面垂直的性質(zhì)定理是兩個相垂直的平面區(qū)別于其他兩個相交平面的特有的性質(zhì)． |
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這個定理為證明線面垂直提供了思路：只要有兩個平面垂直，那么向交線作垂線便得線面垂直，進一步便有線與線的垂直．平面與平面垂直的判定與性質(zhì)相互結(jié)合，為證明線線垂直、線面垂直提供了更多的技巧． |
課時訓練江蘇人民出版社系列答案
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啟東小題作業(yè)本系列答案科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年山東省高三下學期模擬預測理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
在四棱錐
中，
平面
，底面為矩形，
.
（Ⅰ）當
時，求證：
；
（Ⅱ）若
邊上有且只有一個點
，使得
，求此時二面角
的余弦值.
【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當a=1時，底面ABCD為正方形，
又因為
,
………………2分
又
，得證。
第二問，建立空間直角坐標系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》
要使
，只要
所以
，即
………6分
由此可知時，存在點Q使得
當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得
由此知道a=2, 設平面POQ的法向量為
,所以
平面PAD的法向量
則
的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
解：(Ⅰ)當時，底面ABCD為正方形，
又因為,又
………………3分
(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標系，如圖所示，
則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要
所以，即………6分
由此可知時，存在點Q使得
當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得由此知道a=2,
設平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆浙江省高二下學期期中理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
如圖，邊長為2的正方形ABCD，E是BC的中點，沿AE，DE將
折起，使得B與C重合于O．
（Ⅰ）設Q為AE的中點，證明：QD
AO；
（Ⅱ）求二面角O—AE—D的余弦值．
【解析】第一問中，利用線線垂直，得到線面垂直，然后利用性質(zhì)定理得到線線垂直。取AO中點M，連接MQ，DM，由題意可得：AO
EO, DOEO，
AO=DO=2．AODM
因為Q為AE的中點，所以MQ//E0,MQAO
AO平面DMQ,AODQ
第二問中，作MNAE,垂足為N，連接DN
因為AOEO, DOEO，EO平面AOD，所以EODM
，因為AODM ，DM平面AOE
因為MNAE，DNAE, 
DNM就是所求的DM=
，MN=
,DN=
,COSDNM=
（1）取AO中點M，連接MQ，DM，由題意可得：AOEO, DOEO，
AO=DO=2．AODM
因為Q為AE的中點，所以MQ//E0,MQAO
AO平面DMQ,AODQ
（2）作MNAE,垂足為N，連接DN
因為AOEO, DOEO，EO平面AOD，所以EODM
，因為AODM ，DM平面AOE
因為MNAE，DNAE, DNM就是所求的DM=，MN=,DN=,COSDNM=
二面角O-AE-D的平面角的余弦值為
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