Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）請指出函數(shù)的定義域、周期性和奇偶性；（不必證明）

（2）請以正弦函數(shù)的性質(zhì)為依據(jù)，并運用函數(shù)的單調(diào)性定義證明：在區(qū)間上單調(diào)遞減．

Answer 1

【答案】（1）,,奇函數(shù)；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由題意利用函數(shù)的定義域、奇偶性、周期性的定義，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，得出結(jié)論．（2）以正弦函數(shù)y＝sinx的單調(diào)性為依據(jù)，并運用函數(shù)的單調(diào)性定義，證得結(jié)論．

（1）∵函數(shù)，∴sinx≠0，∴x≠kπ，k∈Z，

故函數(shù)的定義域為{x|x≠kπ，k∈Z}．

顯然，f（x）的周期，即y＝sinx的周期為2π．

由于滿足，故f（x）為奇函數(shù)．

（2）證明：正弦函數(shù)y＝sinx在區(qū)間上單調(diào)遞增，

設(shè)0＜x1＜x2＜，則0＜sinx1＜sinx2＜1，

∴，即 f（x1）＞f（x2），

故y＝f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減．