Question

已知動點(diǎn)P（x，y）與兩定點(diǎn)M（-1，0），N（1，0）連線的斜率之積等于常數(shù)λ（λ≠0）．
（I） 求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（II） 試根據(jù)λ的取值情況討論軌跡C的形狀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用動點(diǎn)P（x，y）與兩定點(diǎn)M（-1，0），N（1，0）連線的斜率之積等于常數(shù)λ（λ≠0），建立方程，化簡可得結(jié)論；
（Ⅱ）對λ分類討論，考慮λ＞0；-1＜λ＜0；λ=-1；λ＜-1，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)知直線PM與PN的斜率存在且均不為零
所以k_PM•k_PN=

y

x+1

•

y

x-1

=λ，整理得x2-

y2

λ

=1（λ≠0，x≠±1）（4分）
（Ⅱ）①當(dāng)λ＞0時，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除去頂點(diǎn)）
②當(dāng)-1＜λ＜0時，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（除去長軸兩個端點(diǎn)）
③當(dāng)λ=-1時，軌跡C為以原點(diǎn)為圓心，1的半徑的圓除去點(diǎn)（-1，0），（1，0）
④當(dāng)λ＜-1時，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓（除去短軸的兩個端點(diǎn)）（12分）

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查分類討論思想的運(yùn)用，屬于中檔題．