Question

20．已知函數(shù)f（x）=x$（{{e^x}-\frac{1}{e^x}}）$，若f（x₁）＜f（x₂），則（　　）

• A． x₁＞x₂
• B． x₁＜x₂
• C． ${x}_{1}^{2}$＜${x}_{2}^{2}$
• D． x₁+x₂=0

Answer 1

分析 先容易判斷出f（x）在R上是偶函數(shù)，所以通過求導(dǎo)可以判斷該函數(shù)在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以由f（x₁）＜f（x₂）得到f（|x₁|）＜f（|x₂|），所以由單調(diào)性即可得到|x₁|＜|x₂|，所以x12＜x22．

解答 解：∵已知函數(shù)f（x）=x$（{{e^x}-\frac{1}{e^x}}）$，f（-x）=（-x）•（e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$）=f（x），
∴f（x）在R上為偶函數(shù)．
∵f′（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x（e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$），
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
故f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減．
∴f（x₁）＜f（x₂），等價(jià)于|x₁|＜|x₂|，等價(jià)于${{x}_{1}}^{2}$＜${{x}_{2}}^{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查偶函數(shù)的定義及判斷過程，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及偶函數(shù)定義的運(yùn)用：對(duì)于偶函數(shù)f（x），f（x₁）＜f（x₂）和f（|x_1|）＜f（|x_2|）等價(jià)．