Question

2．在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，已知定點(diǎn)A（0，-8），M，N分別是x軸、y軸上的點(diǎn)，點(diǎn)P在直線MN上，滿足：$\overrightarrow{NM}$+$\overrightarrow{NP}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{MN}$=0．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)F為P點(diǎn)軌跡的一個(gè)焦點(diǎn)，C、D為軌跡在第一象限內(nèi)的任意兩點(diǎn)，直線FC，F(xiàn)D的斜率分別為k₁，k₂，且滿足k₁+k₂=0，求證：直線CD過定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出P、M、N的坐標(biāo)，由已知向量等式列式，消參數(shù)可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），利用點(diǎn)差法可得CD的斜率與橫坐標(biāo)的關(guān)系，再由k₁+k₂=0求得x₁x₂=4．寫出CD所在直線方程，取x=0求得y=-1．可得直線CD過定點(diǎn)（0，-1）．

解答 解：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（x，y），M點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b）．
由$\overrightarrow{NM}$+$\overrightarrow{NP}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{MN}$=0，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=-a}\\{y=2b}\\{-{a}^{2}+8b=0}\end{array}\right.$，消去a，b得x²=4y．
∴P點(diǎn)軌跡方程為x²=4y；
證明：（2）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則${{x}_{1}}^{2}=4{y}_{1}$，${{x}_{2}}^{2}=4{y}_{2}$，兩式相減：得${{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}=4（{y}_{1}-{y}_{2}）$，
∴${k}_{CD}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$．
${k}_{1}=\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$，${k}_{2}=\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$，
由k₁+k₂=0，得x₁y₂+x₂y₁=x₁+x₂，
∴${x}_{1}•\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+{x}_{2}•\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}={x}_{1}+{x}_{2}$，得x₁x₂=4．
直線CD：$y-{y}_{1}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}（x-{x}_{1}）$，即$y-{y}_{1}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}（x-{x}_{1}）$．
令x=0，得$y={y}_{1}-\frac{{{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}}{4}=\frac{4{y}_{1}-{{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}{x}_{2}}{4}=-\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}=-1$．
∴直線CD過定點(diǎn)（0，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直接法求軌跡方程，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．