Question

已知函數(shù)f（x）=|x|（x-4），x∈R．
（1）把函數(shù)f（x）寫成分段函數(shù)的形式；
（2）在給定的坐標(biāo)系內(nèi)作函數(shù)f（x）的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）利用圖象回答：當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，方程|x|（x-4）=k有一解？有兩解？有三解？

Answer 1

分析：（1）要根據(jù)絕對(duì)值的定義，利用零點(diǎn)分段法，分當(dāng)x＜0時(shí)和當(dāng)x≥0時(shí)兩種情況，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，最后可將函數(shù)y=|x|（x-4）寫出分段函數(shù)的形式；
（2）根據(jù)分段函數(shù)圖象分段畫的原則，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可作出圖象，結(jié)合圖象可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）根據(jù)（2）中函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的極大值為0，極小值為-4，可得方程|x|•（x-4）=k有一解，有兩解和有三解時(shí)k的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)x＜0時(shí)，y=|x|（x-4）=-x（x-4），
當(dāng)x≥0時(shí)，y=|x|（x-4）=x（x-4），
綜上所述：y=

-x(x-4)，x＜0  x(x-4)，x≥0

；
（2）根據(jù)分段函數(shù)圖象的作法，其函數(shù)圖象如圖所示：
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞），減區(qū)間為（0，2）；
（3）由（2）中函數(shù)的圖象可得：
當(dāng)k＜-4或k＞0時(shí)，方程|x|•（x-4）=k有一解，
當(dāng)k=-4或k=0時(shí)，方程|x|•（x-4）=k有兩解，
當(dāng)-4＜k＜0時(shí)，方程|x|•（x-4）=k有三解．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的解析式及其圖象的作法，函數(shù)的零點(diǎn)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．