Question

過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（  ）

A．           B.          C.         D.

 

Answer 1

【答案】

D

【解析】

試題分析：解：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F'，則F'的坐標(biāo)為（c，0）

因?yàn)閽佄锞�為y²=4cx，所以F'為拋物線的焦點(diǎn)

因?yàn)镺為FF'的中點(diǎn)，E為FP的中點(diǎn)，所以O(shè)E為△PFF'的中位線，

屬于OE∥PF'因?yàn)閨OE|=a，所以|PF'|=2a

又PF'⊥PF，|FF'|=2c 所以|PF|=2b

設(shè)P（x，y），則由拋物線的定義可得x+c=2a，

∴x=2a-c ，過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線，點(diǎn)P到該垂線的距離為2a

由勾股定理 y²+4a²=4b²，即4c（2a-c）+4a²=4（c²-a²）

得e²-e-1=0，e=,選D.

考點(diǎn)：本試題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查拋物線的定義，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是雙曲線的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（c，0），利用O為FF'的中點(diǎn)，E為FP的中點(diǎn)，可得OE為△PFF'的中位線，從而可求|PF|，再設(shè)P（x，y） 過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線，由勾股定理得出關(guān)于a，c的關(guān)系式，最后即可求得離心率