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已知兩定點F1(-
2
,0)
,F2(
2
,0)
,點P是曲線E上任意一點,且滿足條件|
PF2
|-|
PF1
|=2

①求曲線E的軌跡方程;
②若直線y=kx-1與曲線E交于不同兩點A,B兩點,求k的范圍.
分析:①由雙曲線的定義可知,曲線E是以F1(-
2
,0)
F2(
2
,0)
為焦點的雙曲線的左支,由此可求曲線E的方程;
②由題意建立方程組
y=kx-1
x2-y2=1
消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0,根據直線與雙曲線左支交于兩點A,B,建立不等式組,即可求得k的范圍.
解答:解:①由雙曲線的定義可知,曲線E是以F1(-
2
,0)
F2(
2
,0)
為焦點的雙曲線的左支,且c=
2
,a=1,
∴b=
c2-a2
=1
故曲線E的方程為:x2-y2=1(x<0)
②設A(x1,y1),B(x2,y2),由題意建立方程組
y=kx-1
x2-y2=1
消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0
已知直線與雙曲線左支交于兩點A,B,有
1-k2≠0
△=4k2+8(1-k2)>0
x1+x2=
-2k
1-k2
<0
x1x2=
-2
1-k2
>0
  解得:-
2
<k<-1
點評:本題考查軌跡方程,考查直線與雙曲線的位置關系,解題的關鍵是正確運用雙曲線的定義與韋達定理.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知兩定點F1(-
2
,0)
F2(
2
,0)
,滿足條件|
PF2
|-|
PF1
|
=2的點P的軌跡是曲線E,直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點.如果
|AB|
=6
3
且曲線E上存在點C,使
OA
+
OB
=m
OC
求m的值和△ABC的面積S.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知兩定點F1(-
2
,0)
F2(
2
,0)
,滿足條件|
PF2
|-|
PF1
|=2
的點P的軌跡是曲線E,直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點.
(Ⅰ)求k的取值范圍;
(Ⅱ)如果|AB|=6
3
且曲線E上存在點C,使
OA
=
OB
=m
OC
求m的值和△ABC的面積S.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知兩定點F1(-
2
,0),F2(
2
,0)
,平面上動點P滿足|PF1|-|PF2|=2.
(Ⅰ)求動點P的軌跡c的方程;
(Ⅱ)過點M(0,1)的直線l與c交于A、B兩點,且
MA
MB
,當
1
3
≤λ≤
1
2
時,求直線l的斜率k的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知兩定點F1(-
2
,  0),F2(
2
,  0)
,滿足條件|
PF2
|-|
PF1
| =2
的點P的軌跡是曲線C,直線y=kx-2與曲線C交于A、B兩點,且|AB| =
2
5
3

(1)求曲線C的方程;
(2)求直線AB的方程;
(3)若曲線C上存在一點D,使
OA
+
OB
=m
OD
,求m的值及點D到直線AB的距離.

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