Question

5．已知f（x）=x³-3x+2+m（m＞0），在區(qū)間[0，2]上存在三個不同的實(shí)數(shù)a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形是直角三角形，則m的取值范圍是0＜m＜4+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)求得f（x）=x³-3x+2+m（m＞0），在區(qū)間[0，2]上的最小值、最大值，由題意構(gòu)造不等式解得范圍．

解答 解：f（x）=x³-3x+2+m，求導(dǎo)f′（x）=3x²-3由f′（x）=0得到x=1或者x=-1，
又x在[0，2]內(nèi)，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，2）單調(diào)遞增，
則f（x）_min=f（1）=m，f（x）_max=f（2）=m+4，f（0）=m+2．
∵在區(qū)間[0，2]上存在三個不同的實(shí)數(shù)a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形是構(gòu)成直角三角形，
∴2m²＜（m+4）²，即m²-8m-16＜0，解得4-4$\sqrt{2}$＜m＜4+4$\sqrt{2}$，
又已知m＞0，∴0＜m＜4+4$\sqrt{2}$．
故答案為：0＜m＜4+4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求得最值的知識，考查不等式的構(gòu)造及其求法，屬中檔題．