Question

13．已知函數(shù)f（x）=xlnx+a（a∈R），g（x）=$\frac{2x}{{e}^{x-1}}$-e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）求證：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞g（x）+a．

Answer 1

分析 （I）求出y=-xlnx的單調(diào)性和極值，得出y=-xlnx的值域，根據(jù)單調(diào)性和極值討論a的范圍得出f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（II）求出f（x）的最小值和g（x）的最大值，使用作差法即可得出結(jié)論．

解答 解：（I）令f（x）=0得a=-xlnx，
令h（x）=-xlnx，則h′（x）=-lnx-1，
∴當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{e}$時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x＞$\frac{1}{e}$時(shí)，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調(diào)遞減，
∴h_max（x）=h（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$，
又x→0時(shí)，h（x）＞0，當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→-∞，
∴h（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)x=1，
作出h（x）的大致函數(shù)圖象如圖所示：

∴當(dāng)a≤0或a=$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）有1個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）有2個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)a＞$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）沒有零點(diǎn)．
（II）證明：∵f（x）＞g（x）+a?xlnx＞g（x），
g′（x）=$\frac{2（{e}^{x-1}-x{e}^{x-1}）}{（{e}^{x-1}）^{2}}$=$\frac{2（1-x）}{{e}^{x-1}}$，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，
∴g_max（x）=g（1）=2-e，
由（I）可知y=xlnx的最小值為-$\frac{1}{e}$，
∵-$\frac{1}{e}$-（2-e）=e-2-$\frac{1}{e}$＞0，
∴xlnx-g（x）＞0．即xlnx＞g（x），
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞g（x）+a．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與極值計(jì)算，函數(shù)最值的意義，屬于中檔題．