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如圖所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC．

(Ⅰ)求證：D1C⊥AC1；

(Ⅱ)設E是DC上一點，試確定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并說明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)證明：在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，

　　連結C1D，

　　∵DC＝DD1，

　　∴四邊形DCC1D1是正方形．

　　∴DC1⊥D1C．

　　又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，

　　∴AD⊥平面DCC1D1，

　　D1C平面DCC1D1，

　　∴AD⊥D1C．

　　∵AD∩DC1＝D

　　∴D1C⊥平面ADC1，

　　又AC1平面ADC1，

　　∴DC1⊥AC1

　　(2)連結AD1，連結AE，

　　設AD1∩A1D＝M，

　　BD∩AE＝N，連結MN，

　　∵平面AD1E∩平面A1BD，

　　須使MN∥D1E，

　　又M是AD1的中點，

　　∴N是AE的中點．

　　又易知△ABN≌△EDN，

　　∴AB＝DE．

　　即E是DC的中點．

　　綜上所述，當E是DC的中點時，可使D1E∥平面A1BD．


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