Question

給定方程：（

1

2

）^x+sinx-1=0，下列命題中：
①該方程沒有小于0的實數(shù)解；
②該方程有無數(shù)個實數(shù)解；
③該方程在（-∞，0）內(nèi)有且只有一個實數(shù)解；
④若x₀是該方程的實數(shù)解，則x₀＞-1．
則正確命題是

②③④

．

Answer 1

分析：根據(jù)正弦函數(shù)的符號和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得該方程存在小于0的實數(shù)解，故①不正確；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與正弦函數(shù)的有界性，可得方程有無數(shù)個正數(shù)解，故②正確；根據(jù)y=（

1

2

）^x-1的單調(diào)性與正弦函數(shù)的有界性，
分析可得當(dāng)x≤-1時方程沒有實數(shù)解，當(dāng)-1＜x＜0時方程有唯一實數(shù)解，由此可得③④都正確．

解答：解：對于①，若α是方程（

1

2

）^x+sinx-1=0的一個解，
則滿足（

1

2

）^α=1-sinα，當(dāng)α為第三、四象限角時（

1

2

）^α＞1，
此時α＜0，因此該方程存在小于0的實數(shù)解，得①不正確；
對于②，原方程等價于（

1

2

）^x-1=-sinx，
當(dāng)x≥0時，-1＜（

1

2

）^x-1≤0，而函數(shù)y=-sinx的最小值為-1
且用無窮多個x滿足-sinx=-1，
因此函數(shù)y=（

1

2

）^x-1與y=-sinx的圖象在[0，+∞）上有無窮多個交點
因此方程（

1

2

）^x+sinx-1=0有無數(shù)個實數(shù)解，故②正確；
對于③，當(dāng)x＜0時，
由于x≤-1時（

1

2

）^x-1≥1，函數(shù)y=（

1

2

）^x-1與y=-sinx的圖象不可能有交點
當(dāng)-1＜x＜0時，存在唯一的x滿足（

1

2

）^x=1-sinx，
因此該方程在（-∞，0）內(nèi)有且只有一個實數(shù)解，得③正確；
對于④，由上面的分析知，
當(dāng)x≤-1時（

1

2

）^x-1≥1，而-sinx≤1且x=-1不是方程的解
∴函數(shù)y=（

1

2

）^x-1與y=-sinx的圖象在（-∞，-1]上不可能有交點
因此只要x₀是該方程的實數(shù)解，則x₀＞-1．
故答案為：②③④

點評：本題給出含有指數(shù)式和三角函數(shù)式的方程，討論方程解的情況．著重考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的周期性和有界性、函數(shù)的值域求法等知識，屬于中檔題．