(本小題滿分12分)
如圖,在三棱柱
中,所有的棱長都為2,
.
(Ⅰ)求證:
;
(Ⅱ)當(dāng)三棱柱
的體積最大時,求平面
與平面
所成的銳角的余弦值.
(Ⅰ)略(Ⅱ)
(Ⅰ)證明:取
的中點(diǎn)
,連接
,
在三棱柱
中,所有棱長都為2,
則
,所以
平面
而
平面
,故
(Ⅱ)當(dāng)三棱柱
的體積最大時,點(diǎn)
到平面
的距離最大,此時
平面
.設(shè)平面
與平面
的交線為
,
在三棱柱
中,
,
平面
,則
,
過點(diǎn)
作
交于點(diǎn)
,連接
.由
,
知
平面
,
則
,故
為平面
與平面
所成二面角的平面角。
在
中,
,則
在
中,
,
,
即平面
與平面
所成銳角的余弦值為
。
方法2:當(dāng)三棱柱
的體積最大時,點(diǎn)
到平面
的距離最大,此時
平面
.以
所在的直線分別為
軸,建立直角坐標(biāo)系,依題意得
.
由
得
,設(shè)平面
的一個法向量為
而
,則
,取
而
平面
,則平面
的一個法向量為
于是
,
故平面
與平面
所成銳角的余弦值為
。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD為正力形,∠PAD=90
0,且PA=AD=2,E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點(diǎn)。
(1)求證:PB∥平面EFG;
(2)求異面直線EG與BD所成的角;
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知三棱錐的側(cè)棱長的底面邊長的2倍,則側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
四面體
的六條棱長分別為
,且知
,則
.
、
;
、
;
、
;
、
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,四邊形ABCD為矩形,DA⊥平面ABE,
AE=EB=BC=2,EB⊥平面ACE于點(diǎn)F,且點(diǎn)F在CE上。
(1)求證:AE⊥BE;(2)求三棱錐D—AEC的體積;
(3)設(shè)點(diǎn)M在線段AB上,且滿足AM=2MB,試在線段CE上確定一點(diǎn)N,使得MN//平面DAE。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖在正方體
中,M、N、G分別是
的中點(diǎn)
(1)判斷直線
與平面
的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論
(2)求證
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分共12分)如圖,在
中,
為
邊上高,
,
,沿
將
翻折,使得
,得到幾何體
。(1)求證:
;
(2)求
與平面
成角的正切值。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知直線
平面
,直線
平面
,給出下列命題中
①
∥
;②
∥
;
③
∥
;④
∥
.其中正確的是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
一個長、寬、高分別為a、b、c長方體的體積是8cm2,它的全面積是32cm2,且滿足b2=ac,求這個長方體所有棱長之和.
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