【題目】如圖,在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=AB=BC=1, ,平面ACFE⊥平面ABCD,四邊形ACFE是矩形,AE=1,點M在線段EF上.
(1)當 為何值時,AM∥平面BDF?證明你的結(jié)論;
(2)求二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值.
【答案】
(1)解:當 時,AM∥平面BDF.
證明如下:
在梯形ABCD中,設(shè)AC∩BD=O,連接FO,
因為AD=BC=1,∠ADC=60°,
所以DC=2,又AB=1,
因為△AOB∽△CDO,
因此CO:AO=2:1,
所以 ,因為ACFE是矩形,
所以四邊形AOFM是平行四邊形,
所以AM∥OF,
又OF平面BDF,AM平面BDF,
所以AM∥平面BDF
(2)解:在平面ABCD內(nèi)過點C作GC⊥CD,
因為平面ACFE⊥平面ABCD,且交線為AC,
則CF⊥平面ABCD,即CF⊥GC,CF⊥DC,
以點C為原點,分別以CD,CG,CF所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,
則 ,D(2,0,0), ,F(xiàn)(0,0,1),
所以 , , , ,
設(shè)平面BEF的法向量為 ,則 ,
∴ ,取 ,
同理可得平面DEF的法向量 ,
所以 ,
因為二面角B﹣EF﹣D是銳角,所以其余弦值是 .
【解析】(1)當 時,設(shè)AC∩BD=O,連接FO,推導出四邊形AOFM是平行四邊形,從而AM∥OF,由此能證明AM∥平面BDF.(2)在平面ABCD內(nèi)過點C作GC⊥CD,以點C為原點,分別以CD,CG,CF所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角B﹣EF﹣D的余弦值.
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本,需要知道平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】大學開設(shè)甲、乙、丙三門選修課供學生任意選修(也可不選),假設(shè)學生是否選修哪門課彼此互不影響.已知某學生只選修甲一門課的概率為0.08,選修甲和乙兩門課的概率為0.12,至少選修一門的概率是0.88.
(1)求該學生選修甲、乙、丙的概率分別是多少?
(2)用ξ表示該學生選修的課程門數(shù)和沒有選修的課程門數(shù)的乘積,求ξ的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如甲圖所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中點,將△ADE沿AE折起到△D1AE位置,使平面D1AE⊥平面ABCE,得到乙圖所示的四棱錐D1﹣ABCE.
(Ⅰ)求證:BE⊥平面D1AE;
(Ⅱ)求二面角A﹣D1E﹣C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=9x﹣2a3x+3:
(1)若a=1,x∈[0,1]時,求f(x)的值域;
(2)當x∈[﹣1,1]時,求f(x)的最小值h(a);
(3)是否存在實數(shù)m、n,同時滿足下列條件:①n>m>3;②當h(a)的定義域為[m,n]時,其值域為[m2 , n2],若存在,求出m、n的值,若不存在,請說明理由.
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【題目】已知無窮數(shù)列{an}的各項都是正數(shù),其前n項和為Sn , 且滿足:a1=a,rSn=anan+1﹣1,其中a≠1,常數(shù)r∈N;
(1)求證:an+2﹣an是一個定值;
(2)若數(shù)列{an}是一個周期數(shù)列(存在正整數(shù)T,使得對任意n∈N* , 都有an+T=an成立,則稱{an}為周期數(shù)列,T為它的一個周期,求該數(shù)列的最小周期;
(3)若數(shù)列{an}是各項均為有理數(shù)的等差數(shù)列,cn=23n﹣1(n∈N*),問:數(shù)列{cn}中的所有項是否都是數(shù)列{an}中的項?若是,請說明理由,若不是,請舉出反例.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+2|﹣|x﹣2|+m(m∈R).
(Ⅰ)若m=1,求不等式f(x)≥0的解集;
(Ⅱ)若方程f(x)=x有三個實根,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC=CC1 , 平面BAC1⊥平面ACC1A1 , ∠ACC1=∠BAC1=60°,AC1∩A1C=O.
(Ⅰ)求證:BO⊥平面AA1C1C;
(Ⅱ)求二面角A﹣BC1﹣B1的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|< )的圖象在 y軸左側(cè)的第一個最高點為(﹣ ,3),第﹣個最低點為(﹣ ,m),則函數(shù)f(x)的解析式為( )
A.f(x)=3sin( ﹣2x)
B.f(x)=3sin(2x﹣ )
C.f(x)=3sin( ﹣2x)
D.f(x)=3sin(2x﹣ )
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx(x>0).
(Ⅰ)求證:f(x)≥1﹣ ;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=x2f(x),且關(guān)于x的方程x2f(x)=m有兩個不等的實根x1 , x2(x1<x2).
(i)求實數(shù)m的取值范圍;
(ii)求證:x1x22< .
(參考數(shù)據(jù):e=2.718, ≈0.960, ≈1.124, ≈0.769,ln2≈0.693,ln2.6≈0.956,ln2.639≈0.970.注:不同的方法可能會選取不同的數(shù)據(jù))
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