Question

4．已知m，n∈N^*且1＜m＜n，試用導(dǎo)數(shù)證明不等式：（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

Answer 1

分析 根據(jù)（1+m）ⁿ＞（1+n）^m兩邊取對(duì)數(shù)，化為$\frac{ln（1+m）}{m}$＞$\frac{ln（1+n）}{n}$；設(shè)f（x）=$\frac{ln（1+x）}{x}$（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，從而證明不等式成立．

解答 證明：由（1+m）ⁿ＞（1+n）^m，兩邊取對(duì)數(shù)，
得nln（1+m）＞mln（1+n），
又m，n∈N^*則$\frac{ln（1+m）}{m}$＞$\frac{ln（1+n）}{n}$；
設(shè)f（x）=$\frac{ln（1+x）}{x}$（x＞0），
則f′（x）=$\frac{\frac{x}{1+x}-ln（1+x）}{{x}^{2}}$，
設(shè)g（x）=$\frac{x}{1+x}$-ln（1+x），
則g′（x）=$\frac{1}{{（1+x）}^{2}}$-$\frac{1}{1+x}$=-$\frac{x}{{（1+x）}^{2}}$＜0，
所以g（x）在（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
所以g（x）＜g（0）=0，
所以f′（x）=$\frac{g（x）}{{x}^{2}}$＜0，
所以f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)；
所以1＜m＜n時(shí)，g（m）＞g（n），
即$\frac{ln（1+m）}{m}$＞$\frac{ln（1+n）}{n}$，
即：（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式成立的問(wèn)題，是綜合性題目．