Question

10．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=2x-x²，若存在實數(shù)a，b，使f（x）在[a，b]上的值域為[$\frac{1}$，$\frac{1}{a}$]，則ab=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，先由奇函數(shù)的性質，分析可得x＜0時，f（x）=x²+2x，對于正實數(shù)a、b，分三種情況討論：①、當a＜1＜b時，②、當a＜b＜1時，③、當1≤a＜b時，結合二次函數(shù)的性質，分析可得a、b的值，將其相乘可得答案．

解答 解：設x＜0，則-x＞0，
∴f（-x）=-2x-（-x）²，即-f（x）=-x²-2x，
∴f（x）=x²+2x，設這樣的實數(shù)a，b存在，
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+2a=\frac{1}}\\{^{2}+2b=\frac{1}{a}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+2a=\frac{1}{a}}\\{^{2}+2b=\frac{1}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}=1}\\{^{2}+2b=\frac{1}{a}=1}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+2a=\frac{1}}\\{^{2}+2b=\frac{1}{a}}\end{array}\right.$得ab（a+b）=0，舍去；由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}=1}\\{^{2}+2b=\frac{1}{a}=1}\end{array}\right.$，得a=1，b=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$矛盾，舍去；
由$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+2a=\frac{1}{a}}\\{^{2}+2b=\frac{1}}\end{array}\right.$得a，b是方程x³+2x²=1的兩個實數(shù)根，
由（x+1）（x²+x-1）=0
得a=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，b=-1，∴ab=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故答案為$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性與單調性的綜合，涉及二次函數(shù)的性質，注意先由奇函數(shù)的性質，求出x＞0時，f（x）的解析式．