精英家教網(wǎng)已知線段AB的長為4，以AB為直徑的圓有一內(nèi)接梯形ABCD，其中AB∥CD（如圖）則這個梯形的周長的最大值為（　�。�
A、8
B、10
C、4(
2
+1)
D、以上都不對
分析：如圖所示，設(shè)∠DOA=θ，(0＜θ＜
π
2
)．作DQ⊥AB，垂足為Q．則DQ=2sinθ，OQ=2cosθ．利用勾股定理及其三角函數(shù)的基本關(guān)系式、倍角公式可得AD=
QD2+AQ2
=4sin
θ
2
．利用DC∥AB，可得AD=BC．利用倍角公式于是梯形ABCD的周長l=AB+2AD+DC=-8(sin
θ
2
-
1
2
)2+10，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
解答：解：如圖所示，精英家教網(wǎng)
設(shè)∠DOA=θ，(0＜θ＜
π
2
)．作DQ⊥AB，垂足為Q．
則DQ=2sinθ，OQ=2cosθ．
∴AQ=2-OQ=2-2cosθ，
∴AD=
QD2+AQ2
=
(2sinθ)2+(2-2cosθ)2

=
4sin2θ+4cos2θ-8cosθ+4
=
8-8cosθ

=
8×2sin2
θ
2
=4sin
θ
2
．
∵DC∥AB，∴AD=BC．
∴梯形ABCD的周長l=AB+2AD+DC
=4+8sin
θ
2
+4cosθ
=8sin
θ
2
+4(1-2sin2
θ
2
)+4
=-8(sin
θ
2
-
1
2
)2+10
當(dāng)且僅當(dāng)sin
θ
2
=
1
2
，即θ=
π
3
時取等號．
∴梯形ABCD的周長的最大值為10．
故選：B．
點評：本題考查了圓的性質(zhì)、勾股定理及其三角函數(shù)的基本關(guān)系式、倍角公式、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了分析問題和解決問題的能力，考查了計算能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
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（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）
在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ=4cosθ的圓心為A，點B(6
2
，
3π
4
)，則線段AB的長為
10
10
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若已知A（1，1，1），B（-3，-3，-3），則線段AB的長為（　�。�

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已知直線
x=-1+
3
2
t
y=
1
2
t
（t為參數(shù)）與曲線ρ=2
2
sin(θ-
π
4
)相交于A，B兩點，則線段AB的長為（　�。�

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若已知A（1，1，1），B（－3，－3，－3），則線段AB的長為

A．4               B．2           C．4          D．3

 

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