【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,P為橢圓C上任意一點,且最小值為0.
(1)求曲線C的方程;
(2)若動直線均與橢圓C相切,且,試探究在x軸上是否存在定點B,使得點B到的距離之積恒為1?若存在,請求出點B的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1) ;(2) 定點B為(-1,0)和(1,0).
【解析】
試題分析:(1)設,代入向量的坐標運算,根據(jù)最小值可得的值,而,這樣求得橢圓方程;(2)當直線斜率存在時,設其方程分別為y=kx+m,y=kx+n,得到,直線與橢圓方程聯(lián)立,得到,又代入點到直線的距離之積等于1,化簡后等式恒成立,得到點的坐標,驗證當兩條直線的斜率不存在時,同樣滿足.
試題解析:(1)設P(x,y),則有
,
由的最小值為0得,∴,
∴橢圓C的方程為.
(2)①當直線斜率存在時,設其方程分別為y=kx+m,y=kx+n,
把的方程代入橢圓方程得,
∵直線與橢圓C相切,,
化簡得,同理,,∴,若m=n,則重合,不合題意,∴m=-n,
設在x軸上存在點B(t,0),點B到直線的距離之積為1,則
,即,
把代入并去絕對值整理得:或,
前式顯然不恒成立;而要使得后式對任意的恒成立,則,解得.
②當直線斜率不存在時,其方程為和,定點(-1,0)到直線的距離之積為,
綜上所述,滿足題意的定點B為(-1,0)和(1,0).
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【題目】已知橢圓(a>b>0)的離心率,過點A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點的距離為.
(1)求橢圓的方程.
(2)已知定點E(-1,0),若直線y=kx+2(k≠0)與橢圓交于C、D兩點.問:是否存在k的值,使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由.
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【題目】某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績,按成績分組,得到的頻率分布表如圖所示.
(1)為了能選拔出最優(yōu)秀的學生,該高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試,求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試?
(2)在(1)的前提下,學校決定在6名學生中隨機抽取2名學生接受A考官的面試,求第四組至少有一名學生被考官A面試的概率?
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【題目】某紀念章從2016年10月1日起開始上市,通過市場調查,得到該紀念章每1枚的市場價(單位:元)與上市時間(單位:天)的數(shù)據(jù)如下:
上市時間天 | 4 | 10 | 36 |
市場價元 | 90 | 51 | 90 |
(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),從下列函數(shù)中選取一個恰當?shù)暮瘮?shù)描述該紀念章的市場價與上市時間的變化關系并說明理由:①;②;③.
(2)利用你選取的函數(shù),求該紀念章市場價最低時的上市天數(shù)及最低的價格.
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【題目】用反證法證明:“自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)”時正確的反設為 ( )
A. a,b,c都是偶數(shù)
B. a,b,c都是奇數(shù)
C. a,b,c中至少有兩個偶數(shù)
D. a,b,c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)
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【題目】若p:(x-3)(x-4)=0,q:x-3=0,則p是q的__________________條件(填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”“既不充分也不必要”中一個)
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【題目】下面四種敘述能稱為算法的是
A. 在家里一般是媽媽做飯
B. 做飯必須要有米
C. 在野外做飯叫野炊
D. 做米飯需要刷鍋、淘米、添水、加熱這些步驟
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【題目】用反證法證明命題 “自然數(shù)a、b 、c中恰有一個偶數(shù)”時,需假設原命題不成立,下列假設正確的是( )
A.a、b、c都是奇數(shù) B.a、b 、c都是偶數(shù)
C.a、b、c中或都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù) D.a、b 、c中至少有兩個偶數(shù)
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【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)設函數(shù),存在實數(shù),,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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