Question

19．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$．
（1）若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{3π}{4}$，求（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$ 與$\overrightarrow{a}$垂直，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，計算即可；
（2）根據(jù)兩向量垂直，數(shù)量積為0，列出方程求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角的余弦值和夾角的大小．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{3π}{4}$時，
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1×$\sqrt{2}$×cos$\frac{3π}{4}$=-1，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=1-1+2=2；
（2）若$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$ 與$\overrightarrow{a}$垂直，則（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=0，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
即1-1×$\sqrt{2}$×cosθ=0，
解得cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
又θ∈[0，π]，
∴θ=$\frac{π}{4}$，
即$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查了平面向量數(shù)量積的定義與運算問題，是基礎(chǔ)題．