Question

11．已知半徑為3的球面上有A，B，C，D四點，若AB=3，CD=4，則四面體ABCD體積的最大值是3$\sqrt{3}$+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 當體積最大時，AB垂直于CD與圓心O確定的平面α，求出垂足P在平面α內(nèi)的軌跡即可得出△PCD的面積最大值，從而得出體積的最大值．

解答 解：設(shè)CD與圓心O確定的平面為α，則當四面體體積最大時，AB⊥α，
設(shè)AB與平面α的交點為P，則P為AB的中點，∴OP=$\sqrt{O{A}^{2}-A{P}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
過O做OM⊥CD，則OM=$\sqrt{O{D}^{2}-D{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴當P，O，M三點共線且O位于P，M之間時，△PCD的面積最大，故四面體體積最大．
∴V_max=$\frac{1}{3}{Smax}_{△PCD}•AB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×（\frac{3\sqrt{3}}{2}+\sqrt{5}）×3$=3$\sqrt{3}$+2$\sqrt{5}$．
故答案為：3$\sqrt{3}$+2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了棱錐的體積計算，球的性質(zhì)，屬于中檔題．