Question

【題目】已知f（x）=ex+sinx+ax（a∈R）.

（Ⅰ）當(dāng)a=﹣2時(shí)，求證：f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減；

（Ⅱ）若對(duì)任意x≥0，f（x）≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）若f（x）有最小值，請(qǐng)直接給出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）a≥﹣2；（Ⅲ）a＜0.

【解析】

（Ⅰ）代入，再求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)得即可.

（Ⅱ）分當(dāng)與兩種情況，分別求解單調(diào)性可得導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞增.再討論最小值與0的大小關(guān)系，從而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再設(shè)極值點(diǎn)分析是否滿足恒成立即可.

（Ⅲ）根據(jù)，結(jié)合指數(shù)、正弦函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性直接寫出即可.

（Ⅰ）解：a=﹣2，f'（x）=ex+cosx﹣2，

當(dāng) x＜0時(shí)，ex＜1，cosx≤1，

所以

所以f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減.

（Ⅱ）解：當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=1≥1，對(duì)于a∈R，命題成立，

當(dāng) x＞0時(shí)，設(shè)g（x）=ex+cosx+a，

則.

因?yàn)?ex＞1，sinx≤1，

所以 ，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

又g（0）=2+a，

所以g（x）＞2+a.

所以在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且＞2+a.

①當(dāng)a≥﹣2時(shí)，＞0，

所以 f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

因?yàn)?f（0）=1，

所以f（x）＞1恒成立.

②當(dāng)a＜﹣2時(shí)，=2+a＜0，

因?yàn)?/span>在[0，+∞）上單調(diào)遞增，

又當(dāng) x=ln（2﹣a）時(shí)，=﹣a+2+cosx+a=2+cosx＞0，

所以 存在x0∈（0，+∞），對(duì)于x∈（0，x0），＜0恒成立.

所以 f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，

所以 當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f（x）＜f（0）=1，不合題意.

綜上，當(dāng)a≥﹣2時(shí)，對(duì)于x≥0，f（x）≥1恒成立.

（Ⅲ）解：a＜0.