【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，是橢圓上一動點（與左、右頂點不重合）已知的內(nèi)切圓半徑的最大值為，橢圓的離心率為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過的直線交橢圓于兩點，過作軸的垂線交橢圓與另一點（不與重合）.設(shè)的外心為，求證為定值.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）當面積最大時，最大，即點位于橢圓短軸頂點時，即可得到的值，再利用離心率求得，即可得答案；

（2）由題意知，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線為，代入橢圓方程得.設(shè)，利用弦長公式求得，利用的垂直平分線方程求得的坐標，兩個都用表示，代入中，即可得答案.

（1）由題意知：，∴，∴.

設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，

則，

故當面積最大時，最大，即點位于橢圓短軸頂點時，

所以，把代入，解得：，

所以橢圓方程為.

（2）由題意知，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線為，

代入橢圓方程得.

設(shè)，則，

所以的中點坐標為，

所以.

因為是的外心，所以是線段的垂直平分線與線段的垂直平分線的交點，的垂直平分線方程為，

令，得，即，所以

所以，所以為定值，定值為4.

練習冊系列答案
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（1）若每臺機器在當月不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時，有工人進行維修（例如：3臺大型機器出現(xiàn)故障，則至少需要2名維修工人），則稱工廠能正常運行.若該廠只有1名維修工人，求工廠每月能正常運行的概率；

（2）已知該廠現(xiàn)有2名維修工人.

（ⅰ）記該廠每月獲利為萬元，求的分布列與數(shù)學期望；

（ⅱ）以工廠每月獲利的數(shù)學期望為決策依據(jù)，試問該廠是否應再招聘1名維修工人？

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