Question

10．在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x-4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上，若圓C上存在唯一一點(diǎn)M，使|MA|=2|MO|，則圓心C的非零橫坐標(biāo)是$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)M（x，y），由MA=2MO，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到點(diǎn)M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由M在圓C上，得到圓C與圓D相切，根據(jù)兩圓的半徑長(zhǎng)，能求出結(jié)果．

解答 解：設(shè)點(diǎn)M（x，y），由MA=2MO，知：$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
化簡(jiǎn)得：x²+（y+1）²=4，
∴點(diǎn)M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，
又∵點(diǎn)M在圓C上，圓C上存在唯一一點(diǎn)M，使|MA|=2|MO|，
∴圓C與圓D相切，
∴|CD|=1或CD=3，
∵|CD|=$\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}$，∴解得a=0或a=$\frac{12}{5}$．
∴圓心C的非零橫坐標(biāo)是$\frac{12}{5}$．
故答案為：$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓的切線方程，點(diǎn)到直線的距離公式，以及圓與圓的位置關(guān)系的判定，涉及的知識(shí)有：兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，直線的點(diǎn)斜式方程，兩點(diǎn)間的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．