使得函數(shù)f(x)=
1
5
x2-
4
5
x-
7
5
(a≤x≤b)
的值域?yàn)閇a,b](a<b)的實(shí)數(shù)對(a,b)有( 。⿲Γ
分析:按照b≤2,a≥2,a<2<b三種情況討論函數(shù)的最值,令其最小值為a,最大值為b,解出方程組即可得到答案.
解答:解:f(x)=
1
5
(x-2)2-
11
5
,
①當(dāng)b≤2時(shí),f(x)在[a,b]上遞減,
則f(a)=b,f(b)=a,即
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
=b
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
=a
,解得
a=-2
b=1
a=1
b=-2
(舍);
②當(dāng)a≥2時(shí),f(x)在[a,b]上遞增,
則f(a)=a,f(b)=b,即
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
=a
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
=b
,解得a=
109
2
,b=
109
2
,又2≤a<b,所以無解;
③當(dāng)a<2<b時(shí),f(2)=a,即a=-
11
5
,
而f(a)=f(-
11
5
)=
166
125
,f(b)=
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
,
若f(a)>f(b),則f(a)=
166
125
=b,與b>2矛盾;
若f(a)<f(b),則f(b)=b,即
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
=b,解得b=
9+
109
2
9-
109
2
(舍),
此時(shí)a=-
11
5
,b=
9+
109
2
,
綜上,滿足條件的實(shí)數(shù)對(a,b)有兩個(gè),
故選B.
點(diǎn)評:本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解,考查分類討論思想,考查學(xué)生解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=(1+
1
n
)x
(n∈N,且n>1,x∈N).
(Ⅰ)當(dāng)x=6時(shí),求(1+
1
n
)x
的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);
(Ⅱ)對任意的實(shí)數(shù)x,證明
f(2x)+f(2)
2
>f'(x)(f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù));
(Ⅲ)是否存在a∈N,使得an<
n
k-1
(1+
1
k
)
<(a+1)n恒成立?若存在,試證明你的結(jié)論并求出a的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若實(shí)數(shù)a∈(1,2),則使得函數(shù)f(x)=
1
2
x2-ax+(a-1)lnx
單調(diào)遞減的一個(gè)區(qū)間是(  )
A、(1,+∞)
B、(0,a-1)
C、(0,1)
D、(a-1,1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=1-
22x+t
(t是常實(shí)數(shù)).
(1)若函數(shù)的定義為R,求y=f(x)的值域;
(2)若存在實(shí)數(shù)t使得y=f(x)是奇函數(shù),證明y=f(x)的圖象在g(x)=2x+1-1圖象的下方.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2006•東城區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=|1-
1x
|, (x>0)

(1)當(dāng)0<a<b且f(a)=f(b)時(shí),求證:ab>1;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域、值域都是[a,b],若存在,則求出a,b的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于定義在集合D上的函數(shù)y=f(x),若f(x)在D上具有單調(diào)性且存在區(qū)間[a,b]⊆D(其中a<b)使當(dāng)x∈[a,b]時(shí),f(x)的值域是[a,b],則稱函數(shù)f(x)是D上的“正函數(shù)”,區(qū)間[a,b]稱為f(x)的“等域區(qū)間”.
(1)已知函數(shù)f(x)=x3是正函數(shù),試求f(x)的所有等域區(qū)間;
(2)若g(x)=
x+2
+k
是正函數(shù),試求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)是否存在實(shí)數(shù)a,b(a<b<1)使得函數(shù)f(x)=|1-
1
x
|
是[a,b]上的“正函數(shù)”?若存在,求出區(qū)間[a,b],若不存在,說明理由.

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