已知函數(shù)f(x)=1-
22x+t
（t是常實數(shù)）．
（1）若函數(shù)的定義為R，求y=f（x）的值域；
（2）若存在實數(shù)t使得y=f（x）是奇函數(shù)，證明y=f（x）的圖象在g（x）=2x+1-1圖象的下方．
分析：（1）先把定義為R轉(zhuǎn)化為2x+t≠0恒成立，求出t的取值范圍，再對t分情況討論求出對應(yīng)y=f（x）的值域；
（2）由y=f（x）是奇函數(shù)得t=1，再把兩個函數(shù)作差，整理后利用基本不等式求出差的最值即可證明結(jié)論．
解答：解：（1）因為2x+t≠0恒成立，所以t≥0，（2分）
當t=0時，y=f（x）的值域為（-∞，1）；（4分）
當t＞0時，由y=1-
2
2x+t
得，2x=
2-t+ty
1-y
＞0，
因而
y-(1-
2
t
)
y-1
＜0
即y=f（x）的值域為(1-
2
t
，1)．（6分）
（2）由y=f（x）是奇函數(shù)得t=1，所以f(x)=1-
1
2x+1
（8分）
f(x)-g(x)=1-
2
2x+1
-(2•2x-1)，f(x)-g(x)=4-[
2
2x+1
+2(2x+1)]≤0（11分）
當“=”成立時，必有
2
2x+1
=2(2x+1)，即2x=0，此式顯然不成立．（13分）
所以對任意實數(shù)x都有f（x）＜g（x）
即y=f（x）的圖象在g（x）=2x+1-1圖象的下方．（14分）
點評：本題主要考查函數(shù)恒成立問題以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用和函數(shù)圖象間的關(guān)系的轉(zhuǎn)化，是對函數(shù)知識的綜合考查，屬于中檔題目．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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