11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)圓x2+y2-4x=0的圓心為Q.
(1)求過點(diǎn)P(0,-4)且與圓Q相切的直線的方程;
(2)若過點(diǎn)P(0,-4)且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點(diǎn)A,B,以O(shè)A、OB為鄰邊做平行四邊形OACB,問是否存在常數(shù)k,使得?OACB為矩形?請(qǐng)說明理由.

分析 (1)設(shè)切線方程為:y=kx-4,利用圓心到直線的距離等于半徑求出k,即可求過點(diǎn)P(0,-4)且與圓Q相切的直線的方程;
(2)聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx-4\\{x^2}+{y^2}-4x=0\end{array}\right.$得(1+k2)x2-(8k+4)x+16=0,利用韋達(dá)定理,結(jié)合向量知識(shí),即可得出結(jié)論.

解答 解:(1)由題意知,圓心Q坐標(biāo)為(2,0),半徑為2,設(shè)切線方程為:y=kx-4,
所以,由$\frac{|2k-4|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2$解得$k=\frac{3}{4}$
所以,所求的切線方程為$y=\frac{3}{4}x-4$,或x=0;
(2)假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)k,則設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx-4\\{x^2}+{y^2}-4x=0\end{array}\right.$得(1+k2)x2-(8k+4)x+16=0
∵△=16(2k+1)2-64(1+k2)>0,
∴$k>\frac{3}{4}$,
∴${x_1}+{x_2}=\frac{8k+4}{{1+{k^2}}}$,且y1+y2=k(x1+x2)$-8=\frac{4k-8}{{1+{k^2}}}$,
∵$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=(x1+x2,y1+y2),∴$|\overrightarrow{OC}{|^2}=({x_1}+{x_2}{)^2}$$+({y_1}+{y_2}{)^2}=\frac{80}{{1+{k^2}}}$,
又$|\overrightarrow{AB}|=2\sqrt{4-\frac{{{{(2k-4)}^2}}}{{1+{k^2}}}}$=$4\sqrt{\frac{4k-3}{{1+{k^2}}}}$,
要使平行四邊形OACB矩形,則$|\overrightarrow{OC}{|^2}=\frac{80}{{1+{k^2}}}$=$|\overrightarrow{AB}{|^2}=16(\frac{4k-3}{{1+{k^2}}})$,
所以k=2,∴存在常數(shù)k=2,使得平行四邊形OACB為矩形.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.

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