Question

1．已知函數(shù)f（x）=xlnx+x-k（x-1）在（1，+∞）內(nèi)有唯一零點x₀，若k∈（n，n+1），n∈Z，則n=3．

Answer 1

分析 求導(dǎo)f′（x）=1+lnx+1-k=lnx+2-k從而分類討論以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而轉(zhuǎn)化為最值問題求解即可．

解答 解：∵f（x）=xlnx+x-k（x-1），x∈（1，+∞），
∴f′（x）=1+lnx+1-k=lnx+2-k，
當(dāng)k≤2時，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，且f（x）＞f（1）=1，
∴f（x）在（1，+∞）上沒有零點，
當(dāng)k＞2時，令f′（x）＞0，解得x＞e^k-2，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
令f′（x）＜0，解得1＜x＜e^k-2，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（e^k-2）=（k-2）e^k-2+e^k-2-ke^k-2+k=-e^k-2+k，
∵f（x）=xlnx+x-k（x-1）在（1，+∞）內(nèi)有唯一零點x₀，
∴f（x₀）=f（e^k-2）=0，
即-e^k-2+k=0，
令g（k）=-e^k-2+k，k＞2．
∴g′（k）=-e^k-2＜0恒成立，
∴g（k）在（2，+∞）上單調(diào)遞減，
∵g（3）=-e+3＞0，g（4）=-e²+4＜0，
∴g（3）•g（4）＜0，
∴k∈（3，4），
∵k∈（n，n+1），n∈Z，
∴n=3，
故答案為：3．

點評 本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基本知識，考查推理論證能力和運算求解能力，考查函數(shù)與方程的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想、數(shù)形結(jié)合的思想，考查運用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題的能力．