Question

1．設(shè)AB是橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$的長(zhǎng)軸，若把AB分成10等分，依次過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作AB的垂線，交橢圓的上半部分于P₁、P₂、…P₉．F₁為橢圓的左焦點(diǎn)，則|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₉|+|F₁B|的值44．

Answer 1

分析 由題意可知當(dāng)i+j=10時(shí)有：|P_iF₁|=|P_jF₂|，其中i、j∈{1，2，3，…，9}，由橢圓定義可知：|P_iF₁|+|P_iF₂|=2a=2×4=8，i∈{1，2，3，…，9}，根據(jù)橢圓性質(zhì)則|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₉|=36，|F₁A|+|F₁B|=2a=8，即可求得答案．

解答 解：F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，不妨令F為左焦點(diǎn)F₁，則右焦點(diǎn)為F₂，
分別連結(jié)點(diǎn)F₂與P₁，P₂，…P₉九個(gè)點(diǎn)，
易知當(dāng)i+j=10時(shí)有：|P_iF₁|=|P_jF₂|，其中i、j∈{1，2，3，…，9}，
由橢圓定義可知：|P_iF₁|+|P_iF₂|=2a=2×4=8，i∈{1，2，3，…，9}，
∴2（|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₉|）=9×8=72，
即|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₉|=36，
則|F₁A|+|F₁B|=2a=8，
∴|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₉|+|F₁B|=36+8=44，
故答案為：44．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義，考查橢圓方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．