Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π）為奇函數(shù)，且相鄰兩對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）當x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{4}$）時，求f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象沿x軸正方向向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$（縱坐標不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，當x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]時，求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式，正弦函數(shù)的單調性，求得f（x）的單調遞減區(qū)間．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得當x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]時，函數(shù)g（x）的值域．

解答 解：（1）由題意知，函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）（0＜φ＜π），
它的圖象相鄰兩對稱軸的距離為$\frac{π}{2}$，∴$\frac{2π}{ω}$=2•$\frac{π}{2}$，∴ω=2，
又∵f（x）為奇函數(shù)，∴φ-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin2x．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{4}$，
∴當x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{4}$）時，f（x）的單調減區(qū)間為（-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{4}$）．
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象沿x軸正方向向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度，可得y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象；
再把橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$（縱坐標不變），得到函數(shù)y=g（x）=2sin（4x-$\frac{π}{3}$）的圖象．
當x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]時，4x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，∴sin（4x-$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，2sin（4x-$\frac{π}{3}$）∈[-2，$\sqrt{3}$]，
∴函數(shù)g（x）的值域為[-2，$\sqrt{3}$]．

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調性、定義域和值域，屬于中檔題．