Question

4．已知向量$\vec m=（{1，cosθ}），\vec n=（{sinθ，-2}）$，且$\vec m⊥\vec n$，則sin2θ+6cos²θ的值為2．

Answer 1

分析 $\vec m⊥\vec n$，可得$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=sinθ-2cosθ=0，tanθ=2．變形為sin2θ+6cos²θ=$\frac{2sinθcosθ+6co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{2tanθ+6}{ta{n}^{2}θ+1}$，即可得出．

解答 解：∵$\vec m⊥\vec n$，∴$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=sinθ-2cosθ=0，
∴tanθ=2．
∴sin2θ+6cos²θ=$\frac{2sinθcosθ+6co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{2tanθ+6}{ta{n}^{2}θ+1}$=$\frac{2×2+6}{{2}^{2}+1}$=2．
故答案為：2．

點評 本題考查了向量垂直與數量積的關系、同角三角函數基本關系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．