Question

已知函數(shù)f(x)=

1

x

-alnx．（a∈R）
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，試確定函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)f（x）在（0，e]上的最小值；
（3）試證明：(1+

1

n

)n+1＞e(e=2.718…，n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得出；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，對(duì)分類討論即可得出；
（3）對(duì)已知兩邊去對(duì)數(shù)得到：(1+

1

n

)n+1＞e?(n+1)ln(1+

1

n

)＞1?ln(1+

1

n

)＞

1

n+1

，令1+

1

n

=x，（1＜x≤2）通過換元，只需證lnx＞1-

1

x

（1＜x≤2），利用（1）的結(jié)論即可得出．

解答：解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=

1

x

+lnx，x∈（0，+∞），
則f′(x)=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，
∵當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0．
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）∵f′(x)=-

1

x2

-

a

x

=-

ax+1

x2

，
①當(dāng)a≥0時(shí)，∵x∈（0，e]，∴ax+1＞0⇒f'（x）＜0，
函數(shù)f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，∴f(x)min=f(e)=

1

e

-a．
②當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）=0得x=-

1

a

，
當(dāng)-

1

a

＜e，即a＜-

1

e

時(shí)，對(duì)x∈(0，-

1

a

)，有f'（x）＜0；即函數(shù)f（x）在(0，-

1

a

)上單調(diào)遞減；
對(duì)x∈(-

1

a

，e]，有f'（x）＞0，即函數(shù)f（x）在(-

1

a

，e]上單調(diào)遞增；
∴f(x)min=f(-

1

a

)=-a-aln(-

1

a

)；
當(dāng)-

1

a

≥e，即a≥-

1

e

時(shí)，對(duì)x∈（0，e]有f'（x）＜0，即函數(shù)f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減；
∴f(x)min=f(e)=

1

e

-a；
綜上得f(x)min=

1 e -a(a≥- 1 e ) -a-aln(-a)(a＜- 1 e )

（3）證明：(1+

1

n

)n+1＞e?(n+1)ln(1+

1

n

)＞1?ln(1+

1

n

)＞

1

n+1

，
令1+

1

n

=x，（1＜x≤2），則

1

n+1

=1-

1

x

，
∴要證ln(1+

1

n

)＞

1

n+1

只需證lnx＞1-

1

x

（1＜x≤2），
由（1）知當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）_min=f（1）
∴f(x)=

1

x

+lnx≥f（1）=1，即lnx≥1-

1

x

，
∵1＜x≤2，∴上式取不到等號(hào)，即lnx＞1-

1

x

，
∴(1+

1

n

)n+1＞e．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類討論、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化、換元法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．