Question

13．橢圓$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1和雙曲線$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{5}$=1共同焦點為F₁，F(xiàn)₂，若P是兩曲線的一個交點，則$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$的值為11．

Answer 1

分析 設P在雙曲線的右支上，再根據(jù)點P為橢圓和雙曲線的一個交點結(jié)合定義求出|PF₁|與|PF₂|的表達式，結(jié)合向量數(shù)量積的定義即可求出PF₁•PF₂的值．

解答 解：因為橢圓$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1和雙曲線$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{5}$=1有共同的焦點F₁、F₂，
所以c=3；橢圓中的a=5，雙曲線中的a'=2，
設P在雙曲線的右支上，左右焦點F₁、F₂：
利用橢圓以及雙曲線的定義可得：|PF₁|+|PF₂|=2a=10  ①
|PF₁|-|PF₂|=2a'=4  ②
由①②得：|PF₁|=7，|PF₂|=3．|F₁F₂|=2c=6，
則cos＜$\overrightarrow{P{F_1}}$，$\overrightarrow{P{F_2}}$＞=$\frac{|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|\overrightarrow{P{F}_{1}}||\overrightarrow{P{F}_{2}}|}$=$\frac{49+9-36}{2×7×3}=\frac{22}{42}$=$\frac{11}{21}$
則$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=|$\overrightarrow{P{F_1}}$|•|$\overrightarrow{P{F_2}}$|cos＜$\overrightarrow{P{F_1}}$，$\overrightarrow{P{F_2}}$＞=7×3×$\frac{11}{21}$=11
故答案為：11．

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的計算，根據(jù)雙曲線和橢圓的定義是解決本題的關鍵．