Question

5．已知?jiǎng)狱c(diǎn)C到點(diǎn)F（1，0）的距離比到直線(xiàn)x=-2的距離小1，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為E．
（1）求曲線(xiàn)E的方程；
（2）若直線(xiàn)l：y=kx+m（km＜0）與曲線(xiàn)E相交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=5$，證明：直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，即可求得曲線(xiàn)E的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程，代入拋物線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得m=-5k，即可求得直線(xiàn)l的方程，則直線(xiàn)l必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（5，0）．

解答 解：（1）由題意可得動(dòng)點(diǎn)C到點(diǎn)F（1，0）的距離等于到直線(xiàn)x=-1的距離，
∴曲線(xiàn)E是以點(diǎn)（1，0）為焦點(diǎn)，直線(xiàn)x=-1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，
設(shè)其方程為y²=2px（p＞0），∴$\frac{p}{2}=1$，∴p=2，
∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程為y²=4x；
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，整理得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{4-2km}{k^2}$，${x_1}•{x_2}=\frac{m^2}{k^2}$．
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=5$，
∴x₁x₂+y₁y₂=$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$=$\frac{{{m^2}+4km}}{k^2}=5$，
∴m²+4km-5k²=0，∴m=k或m=-5k，又km＜0，m=k舍去，m=-5k，滿(mǎn)足△=16（1-km）＞0，
則直線(xiàn)l的方程為y=k（x-5），
∴直線(xiàn)l必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（5，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的定義，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．