Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=3t+6\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為$ρtanθ=\frac{8}{sinθ}$．

（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求直線l被曲線C截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，能求出直線l的普通方程；曲線C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρ²sin²θ=8ρcosθ，由此能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）拋物線y²=8x的焦點是F（2，0），且直線l過拋物線的焦點F，由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-6}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，得9x²-44x+36=0，利用韋達定理和焦點弦公式能求出直線l被曲線C截得的弦長．

解答 解：（1）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=3t+6\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)t得直線l的普通方程為y=3x-6，
∵曲線C的極坐標(biāo)方程為$ρtanθ=\frac{8}{sinθ}$，
∴ρtanθsinθ=8，即ρsin²θ=8cosθ，
∴ρ²sin²θ=8ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=8x．
（2）∵拋物線y²=8x的焦點是F（2，0），且直線l過拋物線的焦點F，
設(shè)直線l與曲線C交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-6}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，得9x²-44x+36=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{44}{9}$，
∴|AB|=${x}_{1}+{x}_{2}+p=\frac{44}{9}+4=\frac{80}{9}$，
∴直線l被曲線C截得的弦長為$\frac{80}{9}$．

點評 本題考查直線的普通方曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查線段長的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．