Question

8．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，點D是AB的中點．
（1）求證：AC₁∥平面 CDB₁；
（2）求三棱錐的體積${V_{B-{B_1}CD}}$．

Answer 1

分析 （1）以C為原點，直線CA，CB，CC₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，設(shè)BC₁與B₁C的交點為E，利用向量共線證明：AC₁∥平面 CDB₁．
（2）設(shè)點B到平面CDB₁的距離為h，利用等體積法轉(zhuǎn)化求解點B到平面CDB₁的距離．

解答 解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，
∴AC、BC、CC₁兩兩垂直，
如圖，以C為原點，直線CA，CB，CC₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，2），D（1，1，0）．
（1）證明：設(shè)BC₁與B₁C的交點為E，則E（0，1，1）．
∵$\overrightarrow{DE}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，0，2），
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{A{C}_{1}}$，∴DE∥AC₁…（3分）
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面 CDB₁，∴AC₁∥平面 CDB₁…（4分）
（2）設(shè)點B到平面CDB₁的距離為h，
在三棱錐B₁-BCD中，
∵${V_{{B_1}-BCD}}={V_{B-{B_1}CD}}$，且B₁B⊥平面 BCD，
∴${S_{△BCD}}•{B_1}B={S_{△{B_1}CD}}•h$…（6分）
易求得${S_{△BCD}}=1，{S_{△{B_1}CD}}=\frac{1}{2}CD•{B_1}D=\sqrt{3}$，
∴$h=\frac{{{S_{△BCD}}•{B_1}B}}{{{S_{△{B_1}CD}}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
即點B到平面CDB₁的距離是$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$…（9分）
三棱錐的體積${V_{B-{B_1}CD}}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2}{3}$，…（10分）

點評 本題考查空間向量在直線與平面平行的證明中的應(yīng)用，等體積法的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．