Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{|{x+1}|，x≤0}\\{|{{{log}_{\frac{1}{2}}}x}|，x＞0}\end{array}}$若方程f（x）=k有四個不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則$\frac{{（{x_1}+{x_2}）{x_3}}}{2}$+$\frac{1}{{x_3^2{x_4}}}$的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{3}{2}$，+∞）
• B． （-∞，0）
• C． （0，$\frac{3}{2}$]
• D． （0，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x），得到x₁，x₂關(guān)于x=-1對稱，x₃x₄=1；化簡條件，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：作函數(shù)f（x）的圖象如右，
∵方程f（x）=k有四個不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，
且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
∴x₁，x₂關(guān)于x=-1對稱，即x₁+x₂=-2，
0＜x₃＜1＜x₄＜2，
則|log${\;}_{\frac{1}{2}}$x₃|=|log${\;}_{\frac{1}{2}}$x₄|，
即log${\;}_{\frac{1}{2}}$x₃=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x₄，
則log${\;}_{\frac{1}{2}}$x₃+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x₄=0
即log${\;}_{\frac{1}{2}}$x₃x₄=0
則x₃x₄=1；
當|log${\;}_{\frac{1}{2}}$x|=1得x=2或$\frac{1}{2}$，
則1＜x₄≤2；$\frac{1}{2}$≤x₃＜1；
故$\frac{{（{x_1}+{x_2}）{x_3}}}{2}$+$\frac{1}{{x_3^2{x_4}}}$=-x₃+$\frac{1}{{x}_{3}}$，$\frac{1}{2}$≤x₃＜1；
則函數(shù)y=-x₃+$\frac{1}{{x}_{3}}$，在$\frac{1}{2}$≤x₃＜1上為減函數(shù)，
則故x₃=$\frac{1}{2}$取得最大值，為y=-$\frac{1}{2}$+2=$\frac{3}{2}$，
當x₃=1時，函數(shù)值最小為y=-1+1=0．
即函數(shù)取值范圍是（0，$\frac{3}{2}$]．
故選：C

點評 本題考查分段函數(shù)的運用，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，運用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．