Question

16．如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠BAC=60°，E，F(xiàn)分別是AP，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在棱AB上，且AD=AC．求證：
（1）EF∥平面PBC；
（2）DF⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位線定理推導(dǎo)出EF∥PC，由此能證明EF∥平面PBC．
（2）由已知條件推導(dǎo)出△ACD為正三角形，DF⊥AC，從而得到DF⊥平面PAC．

解答 （本題滿分為12分）
證明：（1）在△PAC中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AP，AC的中點(diǎn)，
所以EF∥PC．…（2分）
又因?yàn)镋F?平面PBC，PC?平面PBC，
所以EF∥平面PBC．…（5分）
（2）連結(jié)CD．因?yàn)椤螧AC=60°，AD=AC，
所以△ACD為正三角形．
因?yàn)镕是AC的中點(diǎn)，所以DF⊥AC．…（7分）
因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，DF?平面ABC，
平面PAC∩平面ABC=AC，
所以DF⊥平面PAC． …（12分）

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．