Question

4．f（x）定義在R上的偶函數(shù)，且x≥0時(shí)，f（x）=x³，若對(duì)任意x∈[2t-1，2t+3]，不等式f（3x-t）≥8f（x）恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，-3]∪{0}∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 由題意f（x）為R上偶函數(shù)，f（x）=x³ 在x＞0上為單調(diào)增函數(shù)知|3x-t|≥|2x|，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意x∈[2t-1，2t+3]，5x²-6xt+t²≥0  恒成立問(wèn)題．

解答 解：f（x）為R上偶函數(shù)，f（x）=x³ 在x＞0上為單調(diào)增函數(shù)，
f（3x-t）≥8f（x）=f（2x）；
|3x-t|≥|2x|；
∴（3x-t）²≥（2x）²；
化簡(jiǎn)后：5x²-6xt+t²≥0  ①；
（1）當(dāng)t＞0時(shí)，①式解為：x≤$\frac{t}{5}$ 或 x≥t；
對(duì)任意x∈[2t-1，2t+3]，①式恒成立，則需：t≤2t-1
故t≥1；
（2）當(dāng)t＜0時(shí)，①是解為：x≤t 或 x≥$\frac{t}{5}$；
對(duì)任意x∈[2t-1，2t+3]，①式恒成立，則需：2t+3≤t
故t≤-3；
（3）當(dāng)t=0時(shí)，①式恒成立；
綜上所述，t≤-3或t≥1或t=0．
故答案為：（-∞，-3]∪{0}∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)，以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，屬中等題．