Question

7．如圖，在棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點C在平面A₁B₁C₁內(nèi)的射影點為的A₁B₁中點O，AC=BC=AA₁，∠ACB=90°．
（1）求證：AB⊥平面OCC₁；
（2）求二面角A-CC₁-B的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出CO⊥A₁B₁，A₁C₁=C₁B₁，C₁O⊥A₁B₁，從而A₁B₁⊥平面CC₁O，再由A₁B₁∥AB，能證明AB⊥平面CC₁O．
（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CO為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-CC₁-B的正弦值．

解答 證明：（1）∵點C在平面${A}_{1}{B}_{1}{{C}_{1}}^{\;}$內(nèi)的射影點為A₁B₁的中點O，
∴CO⊥A₁B₁，∵AC=BC，∴A₁C₁=C₁B₁，
∵O為A₁B₁的中點，∴C₁O⊥A₁B₁，
∵C₁O∩CO=O，∴A₁B₁⊥平面CC₁O，
∵A₁B₁∥AB，∴AB⊥平面CC₁O．
解：（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CO為z軸，建立空間直角坐標系，
設AC=1，則CC₁=1，C₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵∠COC₁=$\frac{π}{2}$，∴CO=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則C（0，0，0），C₁（-$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），A（1，0，0），B（0，1，0），
∴$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（-$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{CA}$=（1，0，0），$\overrightarrow{CB}$=（0，1，0），
設平面ACC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y-\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{C}_{1}}=x=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{2}，1$），
同理得平面BCC₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}，0，1$），
設二面角A-CC₁-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{3}$．
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴二面角A-CC₁-B的正弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．