Question

5．給出下列命題：
①從2004名學(xué)生中抽取50名組成參觀團(tuán)，先用簡單隨機(jī)抽樣從2 004人中剔除4人，剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行，則每人入選的概率相等．
②某單位有職工52人，現(xiàn)將所有職工按l、2、3、…、52隨機(jī)編號，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本．已知6號、32號、45號職工在樣本中，則樣本中另外一個(gè)職工的編號是19號．
③某社區(qū)有600戶家庭，其中高收入家庭150戶，中等收入家庭360戶，低收入家庭90戶．為了調(diào)查購買力的某項(xiàng)指標(biāo)，用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為100的樣本，則中等收入家庭應(yīng)抽取60戶．
④已知數(shù)據(jù)x₁，x₂，…，x_n的方差s²=4，則數(shù)據(jù)-3x₁+5，-3x₂+5，…，-3x_n+5的標(biāo)準(zhǔn)差為6．
其中正確結(jié)論的序號是①②③④．

Answer 1

分析 由系統(tǒng)抽樣中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等判斷①；根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特征可知抽樣是等距抽樣的原則，構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列，將四個(gè)職工的號碼從小到大成等差數(shù)列，建立等式關(guān)系，求出樣本中另外一個(gè)職工的編號判斷②；先求出每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，再用該層的個(gè)體數(shù)乘以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率判斷③；由已知數(shù)據(jù)的方差求出數(shù)據(jù)-3x₁+5，-3x₂+5，…，-3x_n+5的標(biāo)準(zhǔn)差判斷④．

解答 解：對于①，根據(jù)抽樣的性質(zhì)可知，無論哪種抽樣，每個(gè)個(gè)體抽到的概率都是相同，故①正確；
對于②，設(shè)樣本中還有一個(gè)職工的編號是x號，則用系統(tǒng)抽樣抽出的四個(gè)職工的號碼從小到大排列：6號、x號、32號、45號，它們構(gòu)成等差數(shù)列，
∴6+45=x+32，得x=6+45-32=19，因此，另一個(gè)職工的編號為19號，故②正確；
對于③，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率等于$\frac{100}{600}=\frac{1}{6}$，則中等收入家庭應(yīng)抽取360×$\frac{1}{6}$=60，故③正確；
對于④，設(shè)樣本x₁，x₂，…，x_n的平均數(shù)為$\overline{x}$，即$\overline{x}=\frac{1}{n}$（x₁+x₂+…+x_n ），
則樣本-3x₁+5，-3x₂+5，…，-3x_n+5的平均數(shù)為$\frac{1}{n}$（-3x₁+5-3x₂+5+…-3x_n+5 ）=$-\frac{3}{n}$（x₁+x₂+…+x_n ）+5=-3$\overline{x}$+5，
由方差的公式S²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，可知：樣本-3x₁+5，-3x₂+5，…，-3x_n+5的方差為樣本x₁，x₂，…，x_n的方差的3²=9倍，即9×4=36，
則-3x₁+5，-3x₂+5，…，-3x_n+5的標(biāo)準(zhǔn)差為$\sqrt{36}=6$，故④正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了系統(tǒng)抽樣與分層抽樣，考查了一組數(shù)據(jù)方差的求法，是中檔題．