Question

【題目】已知函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調(diào)減區(qū)間為和；（Ⅱ） 的取值范圍為： 或．

【解析】試題分析：

（Ⅰ）利用切線(xiàn)求出參數(shù)值為2，解不等式可得減區(qū)間；

（Ⅱ）函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，即方程在內(nèi)無(wú)解，亦即要在內(nèi)無(wú)解.為此構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，可得結(jié)論，注意對(duì)分類(lèi)討論

試題解析：

（Ⅰ）解：，

又由題意有：，故.

此時(shí)，，由或，

所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和.

（Ⅱ）解：

，且定義域?yàn)?/span>，

要函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，即要在內(nèi)無(wú)解，

亦即要在內(nèi)無(wú)解.

構(gòu)造函數(shù).

①當(dāng)時(shí)，在內(nèi)恒成立，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)也單調(diào)遞減.又，所以在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，

在內(nèi)也無(wú)零點(diǎn)，故滿(mǎn)足條件；

②當(dāng)時(shí)，

⑴若，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)也單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.又，所以在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；易知，而，故在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，所以不滿(mǎn)足條件；

⑵若，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.又，所以時(shí)，恒成立，故無(wú)零點(diǎn)，滿(mǎn)足條件；

⑶若，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)也單調(diào)遞增.又，所以在及內(nèi)均無(wú)零點(diǎn).

又易知，而，又易證當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在內(nèi)有一零點(diǎn)，故不滿(mǎn)足條件.

綜上可得：的取值范圍為：或.