【題目】已知函數(shù),,為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)若為單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)存在極小值時,設(shè)極小值點為,求證:.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見解析
【解析】
(Ⅰ)若為單調(diào)遞增函數(shù),則有恒成立,從而求的最小值即可得解;
(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中函數(shù)的單調(diào)性只需討論時,通過討論導(dǎo)數(shù)的正負得使得,使得,在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以,結(jié)合,消去留,構(gòu)造,可證得,進而只需證明,再構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性即可證得.
(Ⅰ)由題意知,
令,,
顯然在上單調(diào)遞增,且,
故當(dāng)時,,單調(diào)遞減;
當(dāng)時,,單調(diào)遞增,
所以.
若為增函數(shù),則恒成立,即,即.
經(jīng)檢驗,當(dāng)時,滿足題意.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知時,為增函數(shù),不存在極小值;
當(dāng)時,,,,
故存在使得;
,令,,
顯然在上單調(diào)遞增,
故,故在上單調(diào)遞增,
故,故,
因此存在使得.
因此在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增.
,,
由代入消去得,
令,,
當(dāng)時,,,
故時,,單調(diào)遞減,
即在上單調(diào)遞減,故,
故要證,只需證,
令,,
當(dāng)時,,單調(diào)遞增,
故當(dāng)時,.
綜上,成立.
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【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且asinBbcosA+a=bcosC+ccosB.
(1)求A;
(2)若a,點D在BC上,且AD⊥AC,當(dāng)△ABC的周長取得最大值時,求BD的長.
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【題目】.已知函數(shù).
(1)討論在上的單調(diào)性;
(2)設(shè),若當(dāng),且時,,求整數(shù)的最小值.
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【題目】如圖,已知拋物線,設(shè)直線經(jīng)過點且與拋物線相交于兩點,拋物線在、兩點處的切線相交于點,直線,分別與軸交于、兩點.
(1)求點的軌跡方程
(2)當(dāng)點不在軸上時,記的面積為,的面積為,求的最小值.
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【題目】已知函數(shù)的圖象如圖所示,給出四個函數(shù):①,②,③,④,又給出四個函數(shù)的圖象,則正確的匹配方案是( ).
A.①-甲,②-乙,③-丙,④-丁B.②-甲,①-乙,③-丙,④-丙
C.①-甲,③-乙,④-丙,②-丁D.①-甲,④-乙,③-丙,②-丁
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【題目】已知函數(shù),,為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)若為單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)存在極小值時,設(shè)極小值點為,求證:.
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【題目】采購經(jīng)理指數(shù)(PMⅠ)是衡量一個國家制造業(yè)的“體檢表”,是衡量制造業(yè)在生產(chǎn)、新訂單、商品價格、存貨、雇員、訂單交貨新出口訂單和進口等八個方面狀況的指數(shù),圖為2018年9月—2019年9月我國制造業(yè)的采購經(jīng)理指數(shù)(單位:%).
(1)求2019年前9個月我國制造業(yè)的采購經(jīng)理指數(shù)的平均數(shù)(精確到0.1);
(2)從2018年10月—2019年9月這12個月任意選取4個月,記采購經(jīng)理指數(shù)與上個月相比有所回升的月份個數(shù)為X,求X的分布列與期望.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).設(shè)與的交點為,當(dāng)變化時,的軌跡為曲線.
(1)求的普通方程;
(2)設(shè)為圓上任意一點,求的最大值.
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