Question

【題目】如圖1所示為一種魔豆吊燈，圖2為該吊燈的框架結(jié)構(gòu)圖，由正六棱錐和構(gòu)成，兩個棱錐的側(cè)棱長均相等，且棱錐底面外接圓的直徑為，底面中心為，通過連接線及吸盤固定在天花板上，使棱錐的底面呈水平狀態(tài)，下頂點與天花板的距離為，所有的連接線都用特殊的金屬條制成，設(shè)金屬條的總長為y．

（1）設(shè)∠O1AO =(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫出θ的范圍；

（2）請你設(shè)計θ，當(dāng)角θ正弦值的大小是多少時，金屬條總長y最�。�

Answer 1

【答案】（1），（，）．（2）當(dāng)角滿足（）時，金屬條總長y最小．

【解析】

（1）在直角三角形OAO1中，利用三角函數(shù)的定義，用表示，其中由實際問題可得θ的范圍，最后把吊燈12條側(cè)棱，6條底邊，1條頂懸長相加表示y，得答案；

（2）為了方便運(yùn)算，只令，利用求導(dǎo)的方式得極值，此時即為最小值.

（1）在直角三角形OAO1中，，，

由，所以，

所以θ的范圍是，其中，．

從而有

，

所以，（，）．

（2）令，所以，

令，則，則．

當(dāng)時，；當(dāng)時，．

函數(shù)的單調(diào)性與關(guān)系列表如下：

		0	+
		極小值

所以當(dāng)，其中時取得最小值，即y最小．

故當(dāng)角滿足（）時，金屬條總長y最小．