已知對任意,恒成立(其中),求的最大值.
的最大值為.

試題分析:利用二倍角公式,利用換元法,將原不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式在區(qū)間上恒成立,利用二次函數(shù)的零點分布進行討論,從而得出的最大值,但是在對時的情況下,主要對二次函數(shù)的對稱軸是否在區(qū)間進行分類討論,再將問題轉(zhuǎn)化為的條件下,求的最大值,
試題解析:由題意知,
,,則當,恒成立,開口向上,
①當時,,不滿足,恒成立,
②當時,則必有     (1)
當對稱軸時,即,也即時,有,
,,則,當,時,.
當對稱軸時,即,也即時,
則必有,即,又由(1)知,
則由于,故只需成立即可,
問題轉(zhuǎn)化為的條件下,求的最大值,然后利用代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點或從題干中的式子出發(fā),分別利用三角換元法、導數(shù)法以及柯西不等式法來求的最大值.
法一:(三角換元)把條件配方得:
,所以,
;
法二:(導數(shù))
 則即求函數(shù)的導數(shù),橢圓的上半部分

;
法三:(柯西不等式)由柯西不等式可知:

,當且僅當,即時等號成立.即當時,最大值為2.
綜上可知.
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2
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