Question

如圖,在平面直角坐標系中,是半圓的直徑,是半圓(除端點)上的任意一點.在線段的延長線上取點，使,試求動點的軌跡方程

Answer 1

點的軌跡方程為

試題分析：[解法一]連結,由已知可得,
∴ 點在以為弦,所對圓周角為的圓上．
設該圓的圓心為,則點在弦的中垂線上,即軸上,且,
∴,.圓的方程為.
當點趨近于點時,點趨近于點；當點趨近于點時,點趨近于點.
所以點的軌跡方程為
[解法二] 連結，由已知可得,
設,則
故若設直線的斜率為時,直線的斜率為.
故為兩直線及的交點,消去得
,當時,也在該圓上.
結合可知,點的軌跡方程為
點評：解決該試題的關鍵是建立動點滿足的關系式，設出點的坐標，建立關系式，將關系式坐標化，然后化簡得到其軌跡方程，一般來說，先考慮運用定義法求解軌跡，再考慮運用直接法來求解，中檔題。