Question

10．已知點(diǎn)P為函數(shù)f（x）=e^x的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓（x-e²-1）²+y²=1上任意一點(diǎn)（e為自然對(duì)數(shù)的底），則線段PQ的長(zhǎng)度的最小值為$e\sqrt{{e^2}+1}-1$．

Answer 1

分析 由圓的對(duì)稱(chēng)性可得只需考慮圓心Q（e²+1，0）到函數(shù)f（x）=e^x圖象上一點(diǎn)的距離的最小值．設(shè)f（x）圖象上一點(diǎn)（m，e^m），求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得e^2m-e²+m-1=0，g（x）=e^2x-e²+x-1，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得零點(diǎn)e，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由圓的對(duì)稱(chēng)性可得只需考慮圓心Q（e²+1，0）到函數(shù)f（x）=e^x圖象上一點(diǎn)的距離的最小值．
設(shè)f（x）圖象上一點(diǎn)（m，e^m），
由f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x，
即有切線的斜率為k=e^m，
可得$\frac{{e}^{m}}{m-{e}^{2}-1}$=-e^-m，
即有e^2m-e²+m-1=0，
由g（x）=e^2x-e²+x-1，可得g′（x）=2e^2x+1＞0，g（x）遞增．
又g（1）=0，
可得x=1處點(diǎn)（1，e）到點(diǎn)Q的距離最小，且為$e\sqrt{{e}^{2}+1}$，
則線段PQ的長(zhǎng)度的最小值為$e\sqrt{{e^2}+1}-1$，
故答案為$e\sqrt{{e^2}+1}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查圓的對(duì)稱(chēng)性和兩點(diǎn)的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．