Question

17．閱讀下列有關光線的入射與反射的兩個事實現(xiàn)象，現(xiàn)象（1）：光線經平面鏡反射滿足入射角i與反射角r相等（如圖19-1）；現(xiàn)象（2）：光線從橢圓的一個焦點出發(fā)經橢圓反射后通過另一個焦點（如圖19-2）．試結合上述事實現(xiàn)象完成下列問題：
（1）有一橢圓型臺球桌2a，長軸長為短軸長為2b．將一放置于焦點處的桌球擊出，經過球桌邊緣的反射（假設球的反射完全符合現(xiàn)象（2））后第一次返回到該焦點時所經過的路程記為S，求S的值（用a，b表示）；
（2）結論：橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1上任一點P（x₀，y₀）處的切線l的方程為$\frac{{{x_0}x}}{a^2}$+$\frac{{{y_0}y}}{b^2}$=1．記橢圓C的方程為C：$\frac{x^2}{4}$+y²=1．
①過橢圓C的右準線上任一點M向橢圓C引切線，切點分別為A，B，求證：直線l_AB恒過一定點；
②設點P（x₀，y₀）為橢圓C上位于第一象限內的動點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓C的左右焦點，點I為△PF₁F₂的內心，直線PI與x軸相交于點N，求點N橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）因為桌球第一次與球桌邊緣的接觸點可能橢圓長軸的兩個端點及這兩個端點外的任一點三種情況，分別表示出S=2（a-c）或S=2（a+c）或S=4a；
（2）求得M點坐標，求得直線MA和MB的方程，將M點坐標代入，即可求得直線AB方程$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+ty-1，直線AB恒過定點$F（{\sqrt{3}，0}）$；求得橢圓的切線方程，由直線PI⊥l，${l_{PI}}：y=\frac{{4{y_0}}}{x_0}x-3{y_0}$，y=0，得點N的橫坐標為${x_N}=\frac{{3{x_0}}}{4}$，根據(jù)x₀的取值范圍，即可求得點N橫坐標的取值范圍．

解答 解：（1）記$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}$，
因為桌球第一次與球桌邊緣的接觸點可能橢圓長軸的兩個端點及這兩個端點外的任一點三種情況，
所以S=2（a-c）或S=2（a+c）或S=4a；[（4分）]
（2）①設$M（{\frac{{4\sqrt{3}}}{3}，t}）（{t∈R}），A（{{x_1}，{y_1}}），B（{{x_2}，{y_2}}）$，則…[（5分）]，
${l_{MA}}：\frac{{{x_1}x}}{4}+{y_1}y=1，{l_{MB}}：\frac{{{x_2}x}}{4}+{y_2}y=1$，…[（6分）]
代入$M（{\frac{{4\sqrt{3}}}{3}，t}）$，得${l_{MA}}：\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x_1}+t{y_1}=1，{l_{MB}}：\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x_2}+t{y_2}=1$，…[（7分）]
則點A，B的坐標均滿足方程$\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+ty=1，即{l_{AB}}：\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+ty-1=0$，…[（9分）]
所以，直線AB恒過定點$F（{\sqrt{3}，0}）$；…[（10分）]
②由（2）的結論知：橢圓C在P（x₀，y₀）處的切線l的方程為$\frac{{{x_0}x}}{4}+{y_0}y=1$，…[（11分）]
由事實現(xiàn)象（2）知：直線PI⊥l，
∴${l_{PI}}：y=\frac{{4{y_0}}}{x_0}x-3{y_0}$…[（13分）]
令y=0，得點N的橫坐標為${x_N}=\frac{{3{x_0}}}{4}$，…[（15分）]
∵x₀∈（0，2），
∴${x_N}∈（{0，\frac{3}{2}}）$．…[（16分）]

點評 本題考查橢圓方程的實際應用，考查直線與橢圓的位置關系，直線的切線方程，考查計算能力，屬于中檔題．